Sabiranje i oduzimanje heksadecimalnih brojeva

Sabiranje i oduzimanje heksadecimalnih brojeva se obavlja na isti način kao i kod binarnih i oktalnih uz napomenu da je njihova osnova 16. Ovde treba voditi računa o ciframa od A do F jer tu može doći do greške zato što nismo navikli da u svakodnevnom životu koristimo ove cifre.
sabiranjeoduzimanjeheksadecimalnih
Ukoliko se traži da se saberu ili oduzmu dva broja koja su data u različitim brojevnim sistemima, potrebno je prvo da se konvertuju u isti brojevni sistem, a zatim da se izvrši naznačena operacija.

Sabiranje i oduzimanje oktalnih brojeva

Kod sabiranja oktalnih brojeva postupak je isti kao i kod binarnih, s tim što se prebacivanje vrši ako je zbir odgovarajućih cifara veći ili jednak 8.

 

Što se oduzimanja tiče, ono je, takođe, analogno oduzimanju binarnih uz razliku u tome što se prilikom pozajmljivanja, cifri kojoj pozajmljujemo dodaje 8, a ne 2.

sabiranjeoduzimanjeoktalnih

Sabiranje i oduzimanje binarnih brojeva

sabiranjebinarnihbrojeva

Kod sabiranja na ovom primeru vidimo da je 1 + 1 = 0, a 1 pamtimo (prebacujemo). Naravno, očigledno je da je 1 + 0 = 1 i 0 + 0 = 0.

Kod oduzimanja je jednostavno primetiti da je 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0 i 0 -0 = 0 ali se situacija komplikuje ako naiđemo na 0 – 1. Ovo ćemo detaljnije da objasnimo. Od prve sledeće cifre pozajmljujemo 1, a kako je u ovom primeru ta cifra 0, ne možemo da pozajmimo od nje, već idemo do sledeće jedinice. Kada smo izvršili to pozajmljivanje, vrednost na onom mestu sa koga smo prvi put hteli da pozajmimo je 2. Sada odatle pozajmljujemo 1, tako da na onom mestu gde nismo mogli da izvršimo oduzimanje sada dobijamo 2 – 1, a to je 1. Ovaj postupak nastavljamo dok ne završimo traženo oduzimanje.

Sabiranje i oduzimanje u pozicionim brojevnim sistemima

Svi znamo da sabiramo i oduzimamo dekadne brojeve potpisivanjem. Kod sabiranja znamo da ako kao zbir odgovarajućih cifara dobijemo broj veći ili jednak 10 (što je osnova dekadnog sistema), zapisujemo broj koji dobijamo kada od dobijenog zbira oduzmemo 10 (osnovu), a 1 pamtimo i prebacujemo na sledeći par cifara.

 

Takođe, ako oduzimamo sa potpisivanjem vršimo pozajmljivanje od cifre koja je za jednu mesnu vrednost više od cifara koje oduzimamo. Cifru od koje pozajmljujemo umanjujemo za 1, a onu kojoj pozajmljujemo uvećavamo za 10 (što je osnova dekadnog brojevnog sistema).

sabiranjeioduzimanje

Postupci za sabiranje i oduzimanje u ostalim brojevnim sistemina su analogni, s tim što, ako kod sabiranja ima prebacivanja (ako je dobijeni zbir cifara veći ili jednak osnovi), zapisujemo broj koji dobijamo kada od dobijenog zbira oduzmemo osnovu (2, 8 ili 16), a 1 prebacujemo na sledeću poziciju.
Kod oduzimanja se pozajmljivanje vrši tako što se od cifre veće mesne vrednosti pozajmljuje osnova (2, 8 ili 16) i dodaje se cifri od koje trenutno oduzimamo. Cifra od koje smo pozajmili se umanjuje za 1.

Prebacivanje iz binarnog u heksadecimalni brojevni sistem i obrnuto

Slično kao i kod prebacivanja binarnog u oktalni, posmatraćemo osnove binarnog i heksadecimalnog sistema. Osnova binarnog sistema je 2, a heksadecimalnog 16=24. Zbog ovog četvrtog stepena dvojke mi ćemo svaku četvorku cifara našeg binarnog broja zameniti sa po jednom heksadecimalnom cifrom gledajući zdesna nalevo. Ukoliko broj cifara našeg binarnog broja nije deljiv sa 4, možemo mu sa leve strane dopisati jednu, dve ili tri nule.

Primer: Broj 1010110110(2) zapiši u heksadecimalnom obliku.

Kao i malopre, koristićemo tabelu.

Binarni 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
Heksadecimalni 2 B 6

Broj cifara ovog binarnog broja nije deljiv sa 4 i zato smo sa leve strane dopisali dve nule.

Rešenje je 1010110110(2) = 2B6(16)

Prebacivanje heksadecimalnog broja u binarni sistem sličan je prebacivanju oktalnog broja u binarni sistem, s tim što u ovom slučaju svakoj heksadecimalnoj cifri pridružujemo odgovarajuću četvorku binarnih cifara.

Primer: Broj 3C(16) zapiši u binarnom obliku.
Heksadecimalni 3 C
Binarni 0 0 1 1 1 1 0 0

Nule sa leve strane dobijenog binarnog broja možemo da izostavimo, tako da dobijamo

3C(16) = 111100(2)

Iz ovih primera se lako uočava da se velike vrednosti u oktalnom i heksadecimalnom sistemu zapisuju sa mnogo manje cifara nego u binarnom sistemu što je još jedan od razloga za upotrebu ovih sistema u računarstvu.

Prebacivanje iz binarnog u oktalni brojevni sistem i obrnuto

Ranije smo napomenuli da se oktalni i heksadecimalni sistemi koriste u računarstvu, između ostalog, i zato što se prebacivanje iz binarnog u ove sisteme i obrnuto vrši veoma jednostavno. Za ove vrste konverzija sledeća tabela bi mogla biti od velike pomoći.

Dekadni Binarni Oktalni Heksadecimalni
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Za prebacivanje iz binarnog u oktalni brojevni sistem dovoljno je primetiti da je osnova binarnog sistema 2, a oktalnog 8=23. Zbog ovog trećeg stepena dvojke grupisaćemo po tri binarne cifre gledajući sleva nadesno i svaku ovu trojku cifara zamenićemo sa po jednom oktalnom cifrom. Ukoliko broj binarnih cifara nije deljiv sa 3, sa leve strane našeg binarnog broja možemo da dopišemo jednu ili dve nule.

Primer: Broj 10110(2) prebaci u oktalni brojevni sistem.

Za demonstraciju rešavanja ovog zadatka zapisaćemo cifre ovog binarnog broja u tabelu, a zatim ćemo svakoj trojci binarnih brojeva pridružiti po jedan oktalni broj. Broj cifara ovog binarnog broja nije deljiv sa 3 i zato sa leve strane dopisujemo jednu 0.

Binarni 0 1 0 1 1 0
Oktalni 2 6
Rešenje je 10110(2) = 26(8)

Prilikom prebacivanja oktalnog broja u binarni sistem, postupak je obrnut, tj. svaka cifra oktalnog sistema zamenjuje se odgovarajućom trojkom binarnih cifara.

Primer: Broj 347(8) zapiši u binarnom brojevnom sistemu.

Ponovo ćemo koristiti tabelu i u njoj ćemo svakoj oktalnoj cifri pridružiti odgovarajuću binarnu trojku.

Oktalni 3 4 7
Binarni 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Nule na početku zapisa binarnog broja možemo da izostavimo tako da je:

347(8) = 11100111(2)

Prebacivanje iz dekadnog u binarni, oktalni i heksadecimalni brojevni sistem

Za obavljanje ova tri postupka potrebno je podsetiti se deljenja sa ostatkom (celobrojnog deljenja). Svako celobrojno deljenje može da se zapiše u obliku a : b = k(r), r < b, gde je a deljenik, b delilac, k količnik i r ostatak. Ostatak mora biti manje od delioca jer u suprotnom deljenje nije korektno izvršeno.

Primer: Podeli sa ostatkom 134 i 9.

U ovom primeru smo dobili količnik 14 i ostatak 8. To zapisujemo i ovako:
134 : 9 = 14(8)

Kod svih ovih konverzija vrši se deljenje sa ostatkom datog dekadnog broja osnovom sistema u koji se prebacuje, a zatim se tom osnovom deli dobijeni količnik i taj postupak se ponavlja dok se ne dobije količnik 0. Prilikom svakog ovog koraka pamti se dobijeni ostatak. Nakon toga se zapisuju ostaci počevši od poslednjeg pa do prvog i dobijeni broj je traženi dekadni broj. Predstavićemo ove postupke u sledećim primerima.

Prebacivanje iz dekadnog u binarni brojevni sistem

Prebaci broj 26(10) u binarni brojevni sistem
binarni

Prateći strelicu dobijamo traženi broj, tj. 26(10) = 11010(2)

Prebacivanje iz dekadnog u oktalni brojevni sistem

Prebaci broj 137(10) u oktalni brojevni sistem
oktalni

Rešenje je 137(10) = 211(8)

Prebacivanje iz dekadnog u heksadecimalni brojevni sistem

Kod ove konverzije potrebno je voditi računa o tome da se ostaci koji su veći od 10 zamene odgovarajućim heksadecimalnim ciframa od A do F.
Prebaci broj 949(10) u heksadecimalni brojevni sistem
hexa

Rešenje je 949(10) = 3B5(16)

Prebacivanje iz heksadecimalnog u dekadni brojevni sistem

Ovde ćemo se osvrnuti na cifre heksadecimalnog sistema koje nama nisu bile do sada poznate, a to su: A, B, C, D, E i F. U sledećoj tabeli prikazana je vrednost svake od ovih heksadecimalnih cifara u binarnom brojevnom sistemu:

Cifra u heksadecimalnom sistemu Vrednost cifre u dekadnom sistemu
A 10
B 11
C 12
D 13
E 14
F 15

Na osnovu ove tabele primećujemo da ćemo prilikom prebacivanja iz heksadecimalnog u dekadni sistem cifru A zamenjivati brojem 10, cifru B brojem 11 itd. što ćemo videti u primeru.
Primer: Broj F9A(16) prebaci u dekadni brojevni sistem.

F9A(16) = F∙162 + 9∙161 + A∙160 = 15∙162 + 9∙161 + 10∙160 =
15∙256 + 9∙16 + 10∙1 = 3840 + 144 + 10 = 3994(10)

Prebacivanje iz oktalnog u dekadni brojevni sistem

Ova konverzija (prebacivanje) je analogna prethodnoj s tim što je osnova oktalnog sistema 8, tako da je postupak potpuno isti kao kod prebacivanja iz binarnog u dekadni ali se umesto broja 2 stepenuje broj 8. Iz ovog razloga nećemo toliko detaljno opisivati ovaj postupak koji ćemo videti u primeru.

 
Primer: Broj 275(8) prebaci u dekadni brojevni sistem.

275(8) = 2∙82 + 7∙81 + 5∙80 = 2∙64 + 7∙8 + 5∙1 = 128 + 56 + 5 = 189(10)

Prebacivanje iz binarnog u dekadni brojevni sistem

Ako želimo da broj 1100(2) prebacimo iz binarnog u dekadni brojevni sistem, to ćemo uraditi na osnovu onoga što smo prethodno naučili. Dati broj zapisaćemo kao zbir proizvoda odgovarajuće cifre i odgovarajućeg stepena osnove:

1100(2) = 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 0∙20

Pošto znamo da je 23 = 2∙2∙2 = 8, 22 = 4, 21 = 2 i 20 = 1, zamenićemo stepene odgovarajućim brojevima, a zatim ćemo izvršiti naznačene računske operacije:

1100(2) = 1∙8 + 1∙4 + 0∙2 + 0∙1 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12(10)

Na ovaj način smo videli da binarnom broju 1100 odgovara dekadni broj 12.

Prebacivanje u dekadni sistem

Pre nego što krenemo sa objašnjavanjem postupka za prebacivanje brojeva iz jednog u drugi brojevni sistem potrebno je da usvojimo način zapisivanja brojeva tako da znamo u kom su sistemu zapisani jer na primer broj 1100 nema istu vrednost u različitim brojevnim sistemima.

 

Označavanje brojevnog sistema u kome je dati broj zapisan možemo da vršimo na dva načina:

1. broj(osnova brojevnog sistema)
2. (broj) osnova brojevnog sistema

Tako, na primer, ako je broj 1100 zapisan u dekadnom sistemu to možemo da naglasimo 1100(10) ili (1100)10, a ako je u binarnom onda to naglašavamo sa 1100(2) ili (1100)2. Mi ćemo koristiti prvi način zapisivanja.
 

Značaj brojevnih sistema

Što se tiče drugog pitanja koje smo malopre postavili, moraćemo da se osvrnemo na same osnove računarstva. Računar se sastoji iz elektronskih komponenti (kod modernih računara to su mikroprocesori) kroz koje protiče jednosmerna struja.

Sve datoteke koje računar sadrži, kao i sve komande koje zadajemo računaru, računar „vidi“ kao nizove nula i jedinica tj. binarnim brojevima (0 – nema struje, 1 – ima struje).

Upravo je to razlog zbog koga je od suštinske važnosti za bavljenje računarstvom važno poznavanje binarnog brojevnog sistema. Nedostatak binarnog sistema je u tome što je njegova osnova veoma mala i ima mali broj cifara, tako da je za zapisivanje većih vrednosti potreban dugačak niz nula i jedinica. Ovo je razlog za upotrebu oktalnog i heksadecimalnog sistema u računarstvu.

Zašto koristimo baš oktalni i heksadecimalni sistem?

Osnova oktalnog sistema je 8, a hesadecimalnog 16. Obe ove osnove predstavljaju stepen broja 2 koji je osnova binarnog brojevnog sistema, tj.

8 = 2∙2∙2 = 23 i 16 = 2∙2∙2∙2 = 24

Ovo nam omogućava da brojeve iz oktalnog i heksadecimalnog sistema na veoma jednostavan način konvertujemo (transformišemo) u brojeve binarnog sistema što ćemo kasnije i videti. Osim toga, ovi sistemi imaju znatno veće osnove, tako da oktalni i heksadecimalni brojevi imaju mnogo manje cifara koje se koriste za zapisivanje istih vrednosti u odnosu na binarne brojeve.

Pozicioni brojevni sistemi

Kao što smo napomenuli, brojevni sistemi kojima ćemo se mi baviti su dekadni, binarni, oktalni i heksadecimalni. U sledećoj tabeli možete videti njihove osobine.

Naziv sistema Osnova Cifre
Dekadni 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Binarni  2 0, 1
Oktalni  8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Heksadecimalni 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
U ovom trenutku se postavljaju dva pitanja:
1. Kako se predstavljaju brojevi u ovim sistemima i šta znači ta osnova?
2. Zašto se bavimo baš ovim brojevnim sistemima?

Na primeru dekadnog brojevnog sistema predstavićemo broj 24675. U sledećoj tabeli zapisaćemo ovaj broj i obeležiti poziciju njegovih cifara.

Pozicija cifre 4 3 2 1 0
Cifra 2 4 6 7 5

Sada ćemo ovaj broj zapisati kao zbir brojeva čija je prva cifra različita od nule, a ostale cifre su 0.

24675 = 20000 + 4000 + 600 + 70 + 5

Isti broj zapisujemo kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice.

24675 = 2∙10000 + 4∙1000 + 6∙100 + 7∙10 + 5∙1

Sada ćemo svaku od ovih dekadnih jedinica predstaviti kao stepen broja 10. Kao što se može primetiti, broj 10 je i osnova dekadnog brojevnog sistema.Tako da dobijamo:

24675 = 2∙104 + 4∙103 + 6∙102 + 7∙101 + 5∙100

Upoređujući prethodnu tabelu i ovu poslednju jednakost primećujemo da se cifra na odgovarajućoj poziciji množi stepenom broja koji je osnova posmatranog brojevnog sistema, a čiji je izložilac jednak poziciji posmatrane cifre. Ovaj postupak se može primeniti na sve pozicione sisteme, s tim što se mora voditi računa o osnovi datog sistema. Tako, na primer, binarni broj 1011101 možemo zapisati na sledeći način:

1011101=1∙26+ 0∙25+ 1∙24+ 1∙23+ 1∙22+ . 0∙21+ 1∙20

Na ovaj način smo dali odgovor na prvo pitanje.

Stepenovanje prirodnog broja

Skup prirodnih brojeva obeležavamo sa N i njegovi elementi su brojevi 1,2,3,4,… N = {1,2,3,…}

Znamo da množenje prirodnih brojeva možemo da posmatramo kao skraćeno sabiranje. Primer : 5 + 5 + 5 + 5 = 5⋅4
Na sličan način možemo da posmatramo i stepenovanje prirodnih brojeva, s tim što bi stepenovanje definisali kao skraćeno množenje, na primer 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅5 = 54.

Za svaki prirodan broj a važi a1= a i a0= 1

Na primer : 51= 5 i 50= 1

Brojevni sitemi – uvod

Brojevne sisteme možemo da podelimo na dve grupe – pozicione i nepozicione brojevne sisteme.

Nepozicioni sistemi brojeva

Osnovna karakteristika nepozicionih sistema brojeva je da simboli koji označavaju cifre imaju istu vrednost na različitim mestima u zapisu broja. Nama najpoznatiji nepozicioni sistem brojeva je rimski sistem brojeva. Pored njega, tu su egipatski brojevni sistem i brojevni sistem Maja.

 

Rimski brojevi

Simboli Vrednost     
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1,000

Brojevi Maja
brojevi maja

Pozicioni sistemi brojeva

Pozicioni brojevni sistemi ili pozicione notacije se razlikuju od drugih notacija po njenoj upotrebi istog simbola za različite redove veličina. (Na primer za zapis brojeva 12 i 21 koriste se iste cifre ali njihova vrednost nije ista.) Time se znatno pojednostavljuje aritmetika (izvršavanje računskih operacija), što je dovelo do globalne primene ovih brojevnih sistema. Tokom ovog kursa mi ćemo se baviti upravo ovim brojevnim sistemima.

Vavilonski numerički sistem, čija je osnova 60, je bio prvi pozicioni sistem, i njegov uticaj je prisutan danas u načinu na koji se vreme i uglovi izražavaju u grupama od 60, poput 60 minuta u satu, 360 stepeni u krugu.
Indo-arapski brojevni sistem je brojevni sistem koji mi koristimo u svakodnevnom životu. Osnova ovog sistema je 10. Pretpostavlja se da je ova osnova usvojena na osnovu broja prstiju na rukama. Ovaj brojevni sistem se naziva dekadni brojevni sistem (grčki δέκα (deka) – deset).

Pored ovog brojevnog sistema mi ćemo se baviti binarnim, oktalnim i heksadecimalnim brojevnim sistemima.